LA GENESIS DEL NUMERO SEGUN PIAGET

LA GENESIS DEL NUMERO SEGUN PIAGET

1) INTRODUCCION

Es mi propósito en el presente trabajo examinar y analizar el desarrollo psicogenético de la noción de número, tomando como marco de referencia teórico la concepción piagetiana de la inteligencia, así como su epistemología genética. Esto implicará que aquí concebiremos al número como el resultado de la actividad mental constructiva de un sujeto que interactúa con su entorno, y no como una idea ya dada a priori, en el sentido de estar constituído independientemente de la experiencia.

En efecto, Piaget destacará la doble naturaleza -empírica y racional- del pensamiento matemático. A la alternativa clásica materialismo vs. idealismo, Jean Piaget opondrá una concepción según la cual "el objeto no está dado en el punto de partida sino que se construye a partir de un organismo que no es creado por el sujeto sino que es la condición misma de su existencia: la evidencia racional no es producto directo de la experiencia ni una forma a priori del espíritu sino el resultado de una serie de reequilibraciones progresivas" (Ferreiro, 1982:25).

Al final del trabajo, expondré las conclusiones obtenidas de dicho análisis, y finalmente un detalle de la bibliografía consultada a tales efectos.

2) DESARROLLO: LA GENESIS DEL NUMERO

Detengámonos a observar la conducta de un niño de 3 o 4 años. Escuchamos por ejemplo su verbalización de los números naturales: "uno...dos...tres..., etc". Un observador ingenuo puede inferir que este niño tiene ya la idea de número, pero una observación crítica, fundada en los conceptos de Piaget nos obligará a concluír algo muy diferente.Probablemente este niño esté repitiendo algo que escuchó de sus mayores, y seguramente no tiene verdadera conciencia del número en su sentido matemático estructural. Este logro se adquiere recién a partir de los 7 años, cuando el niño empieza el dominio de las operaciones concretas. El mismo Piaget indica que a un niño de corta edad puede incluso enseñársele a contar (Piaget, 1979: 153), pero esto no significa que haya podido construír la noción de número.

Sin embargo, un logro semejante no habría podido tener lugar si antes el niño no hubiese manipulado materialmente objetos en los primeros meses de su vida, si no hubiese sido capaz de representarse interiormente objetos y acciones sobre esos objetos, y si no hubiese sido capaz de articular representaciones intuitivas, ya en los umbrales del pensamiento operatorio.

Debemos entonces preguntarnos en primer lugar, ¿qué es esta noción que el niño debe poseer, y a la que debe llamarse número? Para Kant, el número era el esquema puro de la cantidad (Kant, 1966:145), concepción gnoseológica que se aproxima bastante a la idea de número que aquí nos interesa destacar, es decir, el número como indicador de cantidad y de orden, y de aquí la distinción entre números cardinales y ordinales, respectivamente.

Esto significa que podamos decir que el niño adquirió la noción de número ante todo y en principio cuando es capaz de utilizarlo con el fin de expresar cantidades y ordenamientos jerárquicos. La expresión "Maradona es el número 10" significa que este jugador tiene una camiseta con el número diez (en este caso el número no indica cantidad ni orden, y el número diez podría haber sido sustituído con un simple dibujo); la expresión "Maradona es el número 1" significa es que el mejor de los de su clase (en este caso el número indica un orden jerárquico); y la expresión "Maradona tiene un cociente intelectual de 110" significa que su inteligencia es ligeramente superior al promedio (en este caso el número indica cantidad).

Sin embargo, afirmar simplemente que la noción de número implica una referencia a un orden (ordinalidad) y una cantidad (cardinalidad) no aclara su psicogénesis: se trata simplemente de una ya clásica caracterización que se hace en el dominio de la aritmética, y que no tiene las connotaciones psicológicas que permiten aclarar cómo el infante construye tal idea. Sin embargo, esta clásica definición contiene un germen algunos datos que permiten arrojar una luz sobre su génesis.

La hipótesis psicogenética de la noción de número que consideraré puede enunciarse de la siguiente manera: "Las operaciones constitutivas del número no requieren más que las agrupaciones aditivas del englobamiento de las clases y de la seriación de las relaciones asimétricas (orden), pero fundidas en un solo todo operatorio" (Piaget, 1979:153). Seguidamente, procuraré explicar qué quiso decir Piaget con esta importante idea, procurando traducirla a un lenguaje más comprensible pero no menos riguroso.

La noción de número es construída por el niño en el periodo de las operaciones concretas (7-11 años aproximadamente). Consecuentes con un enfoque genético, repasemos brevemente qué logros adquiere en el niño en el periodo inmediatamente anterior (preoperacional, 2-11 años), y rescatar aquellos logros específicos que servirán de base para la posterior construcción de aquella noción.

El niño adquiere la idea de número cuando va adquiriendo la capacidad para clasificar y seriar, es decir, para realizar operaciones de clasificación y seriación. Estos logros son característicos del pensamiento operacional concreto, pero tienen su génesis en el pensamiento intuitivo, preoperacional.

Hay, en dicho periodo, un antecedente de la clasificación y de la seriación. Por ejemplo, si a un niño le pedimos que agrupe un conjunto de figuras de distinta forma y color, las dispondrá intentando armar un dibujo (de un hombre, de una casa, etc), lo cual no constitiuye una clase sino una colección figural basada en una configuración perceptiva. Para que el niño forme realmente una clase debe poder agrupar, como condición necesaria, esos elementos según un atributo en común, como por ejemplo colocar todas las figuras azules en el mismo grupo, lo cual implica un logro posterior.

En otro experimento típico se le presenta al niño una hilera de objetos y se le pide que tome la misma cantidad de objetos de una pila próxima. En una primera etapa probablemente el niño haga una nueva hilera de la misma longitud, aunque contenga más objetos más próximos entre sí. Se trata de una simple correspondencia perceptual: ve ambas hileras iguales. Más adelante, el niño hará una correspondencia de uno a uno: toma un objeto y lo pone frente al primero de la hilera original, y luego hace lo mismo con los demás. Sin embargo, si achicamos una de las dos hileras formadas, el niño afirmará que en una hay más objetos que en la otra. Sólo más tarde no se 'engañará' al respecto por efecto de la ilusión perceptiva, y sostendrá la conservación de la cantidad más allá de aquella ilusión (Flavell, 1991:333; Piaget, 1968:83), lo cual ya implica un logro del periodo operacional.

También podemos rastrear en etapas preoperacionales un antecedente de la operación de seriación. Hay un ejemplo típico citado por Piaget: A, B y C son objetos de distinto tamaño (Piaget, 1978:104). Si a un sujeto preoperatorio mostramos primero A y B, y, trás ocultarlos, luego mostramos B y C, el niño no sabrá decir qué relación hay entre A y C porque no los tiene presentes en su campo perceptivo. Un sujeto operatorio dará una respuesta más allá de la percepción: adquirió la posibilidad de componer una serie por transitividad (Si A es mayor que B y B es mayor que C, entonces A es mayor que C).

Entremos ahora en pleno periodo operacional concreto. Entre los 7 y los 11 años el niño construirá, entre otras, dos estructuras operatorias de importancia para nuestro tema: los agrupamientos lógicos (que son 9) y los grupos aritméticos (que son 2).

Ahora bien: la noción de número y la capacidad de realizar operaciones aritméticas como suma, resta, etc., con ellos, sólo se adquieren con los grupos artiméticos...pero estos no podrían construírse de la nada: requieren previamente por lo menos dos de los nueve agrupamientos lógicos: el agrupamiento I que le permite al niño armar clases primarias, y el agrupamiento V que le permite seriar asimétricamente.

Procuraré simplificar mi explicación sin recurrir a tecnicismos matemáticos. Diré entonces que el niño puede saber qué son los números y operar en consecuencia con ellos, no sólo cuando puede clasificar y seriar, sino además cuando puede realizar estas dos últimas operaciones en un todo coordinado. Piaget, en efecto, concibe las clases (clasificar), las relaciones (seriar) y los números como dominios cognoscitivos que se desarrollan al mismo tiempo en forma entrelazada y mutuamente dependiente: "clases, relaciones y números forman un todo psicológica y lógicamente indisociable, cada uno de cuyos tres términos completan a los otros dos" (Piaget, 1979:154).

Utilizando una metáfora, así como no tiene sentido preguntarse cuál pierna es más importante para caminar, así tampoco tiene sentido preguntarse qué es más importante para la marcha intelectual del niño: si las operaciones de clasificación-seriación, o el dominio del número: ambas esferas del conocimiento se complementan y se consolidan apoyándose mutuamente. Nos resta explicar, por consiguiente, la imbricación psicológica de este trípode clase-serie-número.

Si tomamos varios objetos cualesquiera de nuestro entorno cotidiano (una flor, una mesa, un televisor), advertimos que tienen atributos diferentes en cuanto a color, forma, tamaño, etc., pero podemos abstraer -cortar, separar, aislar- estas cualidades diferenciales y atender sólo a lo que tienen en común. Un filósofo diría: estos objetos tienen en común el hecho de 'ser': son entes. Pero también podemos hacer una abstracción matemática, y decir que estos objetos tienen en común el hecho de constituír una unidad: esta flor es una, aquella mesa es una, etc. El número resulta, ante todo y aunque no únicamente, de una abstracción de las cualidades diferenciales, que tiene por resultado hacer cada elemento individual equivalente a cada uno de los otros: 1=1=1, etc.

Una vez que el niño es capaz de esta abstracción, ahora está en condiciones de clasificarlos según inclusiones. Por ejemplo, la clase formada por el elemento 1 puede incluírse en la clase 1+1, y esta a su vez en una clase mayor como 1+1+1, etc. En otras palabras, el 1 está incluído en el 2, el 2 en el 3, etc. "Un número entero es -señala Piaget- una colección de unidades iguales entre sí, y, por lo tanto, una clase cuyas subclases se hacen equivalentes mediante la supresión de las cualidades [diferenciales]" (Piaget, 1968:82-83). De esta forma empieza a llegar el niño a la idea de número gracias a que puede clasificar, y, a su vez, puede clasificar gracias a que dispone de elementos equivalentes entre sí a los que llegó por abstracción.

Esta clasificación es una condición necesaria, pero aún no suficiente para la constitución de la noción de número. Estos elementos equivalentes deben poder ser, además de clasificables, seriables, o sea ubicables en una secuencia de menor a mayor, o viceversa: 1 1 1, etc. El último paso será seriar las subclases sucesivas, es decir:

(1) (1 1) (1 1 1), etc.
O bien: 1 2 3, etc.

El número aparece así como una síntesis de la clasificación y la seriación: mediante la clasificación el niño llega a comprender el significado matemática del 1, del 2, del 3, etc., y mediante la seriación puede comprender la relación entre dichos elementos. Esto explica la doble naturaleza del número como cardinal y como ordinal, ya que resulta de la fusión de los sistemas de inclusión de unas clases en otras, y del sistema de seriación. Por ejemplo, la unidad 1 es al mismo tiempo un elemento de clase (el 1 está comprendido en el 2, el 2 en el 3, etc), y un elemento de serie (el 1 está 'antes' del 2, etc).

En tanto que el sujeto consideraba los elementos individuales en sus cualidades diferenciales, podía reunirlos en clases según cualidades equivalentes (todos los rojos, o todos los grandes, etc), o bien reunirlos en series (del más grande al más chico, etc), pero no podía agruparlos 'simultáneamente' como equivalentes (clases) y diferentes (series). El número es, por el contrario, una colección de objetos concebidos a la vez como equivalentes y diferentes, siendo sus diferencias solamente posiciones de orden. Nos indica, en fin, Piaget, que "esta reunión de la equivalencia y la diferencia supone en este caso la eliminación de las cualidades (abstracción) de donde se sigue precisamente la constitución de la unidad homogénea 1 y el paso de lo lógico a lo matemático" (Piaget, 1979:154).

3) CONCLUSION

El concepto de número tal como es concebido en las ciencias formales abarca, indudablemente, más categorías que la de número natural. Están también los números enteros (naturales y negativos), racionales (enteros y fraccionarios), reales (racionales e irracionales), complejos, etc. Aquí he explicado apenas la psicogénesis del número entero. Explicar la génesis de las restantes categorías escapa a los propósitos del presente trabajo, en el cual he procurado simplemente demostrar sobre todo dos ideas:

a) Cómo surge originalmente la idea de número en el periodo de las operaciones concretas, atendiendo a su psicogénesis, sin extenderme más allá del mismo.

b) Mostrar que una comprensión completa del número sólo puede alcanzarse si incluímos una indagación acerca de cómo surge psicológicamente. En efecto, el número puede ser estudiado desde la epistemología, desde tres ángulos diferentes: 1) estudiándolo sincrónicamente, como producto de una estructura formal, es decir a partir de propiedades como la asociativa, la conmutativa o el elemento neutro; 2) estudiándolo en cuanto a su evolución histórica (el número en los griegos, en el medioevo, etc); y 3) estudiándolo no ya en cuanto a su filogenia sino a su ontogenia, vale decir, cómo cada sujeto individual llega a construír esa idea como consecuencia de su intercambio con el ambiente y a través de sucesivas reequilibraciones.

Este último punto de vista, que desarrollé sintéticamente en este trabajo y que corresponde con el denominado método psicogenético de la epistemología piagetiana, viene a completar la triada indicada y al mismo tiempo viene a compensar las insuficiencias de un enfoque puramente ambientalista (el número nace solo por estimulación ambiental: un padre que enseña a sumar o restar a su hijo), o de un enfoque puramente innatista (que sostendría que el número aparece súbitamente como un efecto simplemente madurativo de las estructuras neurológicas, con poca o ninguna influencia de las experiencias con el ambiente).

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA

Ferreiro Emilia (1982), "Piaget", Buenos Aires, Centro Editor de América Latina.
Flavell J. (1991), "La psicología evolutiva de Jean Piaget", Buenos Aires, Editorial Paidós.
Kant E. (1966), "Crítica de la Razón Pura", Buenos Aires, Editorial Losada.
Piaget J. (1968), "Seis estudios de psicología", Barcelona, Seix Barral, 2° edición.
Piaget J. e Inhelder B. (1978), "Psicología del niño", Madrid, Ediciones Morata, 8° edición.
Piaget J (1979), "Psicología de la inteligencia", Buenos Aires, Editorial Psique.